今天来分享一下图，这是一种比较复杂的非线性数据结构，之所以复杂是因为他们的数据元素之间的关系是任意的，而不像树那样
被几个性质定理框住了，元素之间的关系还是比较明显的，图的使用范围很广的，比如网络爬虫，求最短路径等等，不过大家也不要胆怯，
越是复杂的东西越能体现我们码农的核心竞争力。
既然要学习图，得要遵守一下图的游戏规则。
一： 概念
图是由“顶点”的集合和“边”的集合组成。记作：G=（V,E)；
<1> 无向图
就是“图”中的边没有方向，那么（V1,V2)这条边自然跟（V2，V1）是等价的，无向图的表示一般用”圆括号“。
<2> 有向图
“图“中的边有方向，自然<V1,V2>这条边跟<V2,V1>不是等价的，有向图的表示一般用"尖括号"表示。
<3> 邻接点
一条边上的两个顶点叫做邻接点，比如（V1，V2），（V1，V3），（V1，V5），只是在有向图中有一个“入边，出边“的
概念，比如V3的入边为V5，V3的出边为V2，V1，V4。
<4> 顶点的度
这个跟“树”中的度的意思一样。不过有向图中也分为“入度”和“出度”两种，这个相信大家懂的。
<5> 完全图
每两个顶点都存在一条边，这是一种完美的表现，自然可以求出边的数量。
无向图：edges=n(n-1)/2;
有向图：edges=n(n-1); //因为有向图是有边的，所以必须在原来的基础上"X2"。
<6> 子图
如果G1的所有顶点和边都在G2中，则G1是G2的子图，具体不说了。
<7> 路径，路径长度和回路（这些概念还是比较重要的）
路径： 如果Vm到Vn之间存在一个顶点序列。则表示Vm到Vn是一条路径。
路径长度： 一条路径中“边的数量”。
简单路径： 若一条路径上顶点不重复出现，则是简单路径。
回路： 若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则是回路。
简单回路： 第一个顶点和最后一个顶点相同，其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。
<8> 连通图和连通分量（针对无向图而言的）
连通图： 无向图中，任意两个顶点都是连通的则是连通图，比如V1，V2，V4之间。
连通分量： 无向图的极大连通子图就是连通分量，一般”连通分量“就是”图“本身，除非是“非连通图”，
如下图就是两个连通分量。
<9> 强连通图和强连通分量（针对有向图而言）
这里主要注意的是“方向性“，V4可以到V3，但是V3无法到V4，所以不能称为强连通图。
<10> 网
边上带有”权值“的图被称为网。很有意思啊，呵呵。
二：存储
图的存储常用的是”邻接矩阵”和“邻接表”。
邻接矩阵： 手法是采用两个数组，一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息，
缺点就是比较耗费空间。
邻接表： 改进后的“邻接矩阵”，缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相比节省空间。
三： 创建图
这里我们就用邻接矩阵来保存图，一般的操作也就是：①创建，②遍历
1 #region 邻接矩阵的结构图 2 ///3 /// 邻接矩阵的结构图 4 /// 5 public class MatrixGraph 6 { 7 //保存顶点信息 8 public string[] vertex; 9 10 //保存边信息 11 public int[,] edges; 12 13 //深搜和广搜的遍历标志 14 public bool[] isTrav; 15 16 //顶点数量 17 public int vertexNum; 18 19 //边数量 20 public int edgeNum; 21 22 //图类型 23 public int graphType; 24 25 ///26 /// 存储容量的初始化 27 /// 28 /// 29 /// 30 /// 31 public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType) 32 { 33 this.vertexNum = vertexNum; 34 this.edgeNum = edgeNum; 35 this.graphType = graphType; 36 37 vertex = new string[vertexNum]; 38 edges = new int[vertexNum, vertexNum]; 39 isTrav = new bool[vertexNum]; 40 } 41 42 } 43 #endregion
1 #region 图的创建 2 ///3 /// 图的创建 4 /// 5 /// 6 public MatrixGraph CreateMatrixGraph() 7 { 8 Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。"); 9 10 var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList(); 11 12 MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]); 13 14 Console.WriteLine("请输入各顶点信息："); 15 16 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 17 { 18 Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:"); 19 20 var single = Console.ReadLine(); 21 22 //顶点信息加入集合中 23 graph.vertex[i] = single; 24 } 25 26 Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n"); 27 28 for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++) 29 { 30 Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t"); 31 32 initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList(); 33 34 int start = initData[0]; 35 int end = initData[1]; 36 int weight = initData[2]; 37 38 //给矩阵指定坐标位置赋值 39 graph.edges[start - 1, end - 1] = weight; 40 41 //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称 42 if (graph.graphType == 1) 43 { 44 graph.edges[end - 1, start - 1] = weight; 45 } 46 } 47 48 return graph; 49 } 50 #endregion
<2>广度优先
针对下面的“图型结构”，我们如何广度优先呢？其实我们只要深刻理解"广搜“给我们定义的条条框框就行了。 为了避免同一个顶点在遍历时被多
次访问，可以将”顶点的下标”存放在sTrav[]的bool数组，用来标识是否已经访问过该节点。
第一步：首先我们从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。
第二步：访问V1的邻接点V2，V3，V5，并将这三个节点标记为true。
第三步：第二步结束后，我们开始访问V2的邻接点V1，V3，但是他们都是被访问过的。
第四步：我们从第二步结束的V3出发访问他的邻接点V2，V1，V5，V4，还好V4是未被访问的，此时标记一下。
第五步：我们访问V5的邻接点V1，V3，V4，不过都是已经访问过的。
第六步：有的图中通过一个顶点的“广度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-5）的步骤就可以最终完成广度优先遍历。
1 #region 广度优先 2 ///3 /// 广度优先 4 /// 5 /// 6 public void BFSTraverse(MatrixGraph graph) 7 { 8 //访问标记默认初始化 9 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 10 { 11 graph.isTrav[i] = false; 12 } 13 14 //遍历每个顶点 15 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 16 { 17 //广度遍历未访问过的顶点 18 if (!graph.isTrav[i]) 19 { 20 BFSM(ref graph, i); 21 } 22 } 23 } 24 25 ///26 /// 广度遍历具体算法 27 /// 28 /// 29 public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex) 30 { 31 //这里就用系统的队列 32 Queue queue = new Queue (); 33 34 //先把顶点入队 35 queue.Enqueue(vertex); 36 37 //标记此顶点已经被访问 38 graph.isTrav[vertex] = true; 39 40 //输出顶点 41 Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]); 42 43 //广度遍历顶点的邻接点 44 while (queue.Count != 0) 45 { 46 var temp = queue.Dequeue(); 47 48 //遍历矩阵的横坐标 49 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 50 { 51 if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0) 52 { 53 graph.isTrav[i] = true; 54 55 queue.Enqueue(i); 56 57 //输出未被访问的顶点 58 Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]); 59 } 60 } 61 } 62 } 63 #endregion
同样是这个图，大家看看如何实现深度优先，深度优先就像铁骨铮铮的好汉，遵循“能进则进，不进则退”的原则。
第一步：同样也是从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。
第二步：然后一直访问V1的邻接点，一直到走头无路的时候“回溯”，路线为V1,V2,V3,V4,V5，到V5的时候访问邻接点V1，发现V1是访问过的，
此时一直回溯的访问直到V1。
第三步： 同样有的图中通过一个顶点的“深度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-2）的步骤就可以最终完成深度优先遍历。
1 #region 深度优先 2 ///3 /// 深度优先 4 /// 5 /// 6 public void DFSTraverse(MatrixGraph graph) 7 { 8 //访问标记默认初始化 9 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 10 { 11 graph.isTrav[i] = false; 12 } 13 14 //遍历每个顶点 15 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 16 { 17 //广度遍历未访问过的顶点 18 if (!graph.isTrav[i]) 19 { 20 DFSM(ref graph, i); 21 } 22 } 23 } 24 25 #region 深度递归的具体算法 26 ///27 /// 深度递归的具体算法 28 /// 29 /// 30 /// 31 public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex) 32 { 33 Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]); 34 35 //标记为已访问 36 graph.isTrav[vertex] = true; 37 38 //要遍历的六个点 39 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 40 { 41 if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0) 42 { 43 //深度递归 44 DFSM(ref graph, i); 45 } 46 } 47 } 48 #endregion 49 #endregion
最后上一下总的代码
View Code 1 using System; 2 using System.Collections.Generic; 3 using System.Linq; 4 using System.Text; 5 6 namespace MatrixGraph 7 { 8 public class Program 9 { 10 static void Main(string[] args) 11 { 12 MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager(); 13 14 //创建图 15 MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph(); 16 17 manager.OutMatrix(graph); 18 19 Console.Write("广度递归:\t"); 20 21 manager.BFSTraverse(graph); 22 23 Console.Write("\n深度递归:\t"); 24 25 manager.DFSTraverse(graph); 26 27 Console.ReadLine(); 28 29 } 30 } 31 32 #region 邻接矩阵的结构图 33 /// 34 /// 邻接矩阵的结构图 35 /// 36 public class MatrixGraph 37 { 38 //保存顶点信息 39 public string[] vertex; 40 41 //保存边信息 42 public int[,] edges; 43 44 //深搜和广搜的遍历标志 45 public bool[] isTrav; 46 47 //顶点数量 48 public int vertexNum; 49 50 //边数量 51 public int edgeNum; 52 53 //图类型 54 public int graphType; 55 56 /// 57 /// 存储容量的初始化 58 /// 59 /// 60 /// 61 /// 62 public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType) 63 { 64 this.vertexNum = vertexNum; 65 this.edgeNum = edgeNum; 66 this.graphType = graphType; 67 68 vertex = new string[vertexNum]; 69 edges = new int[vertexNum, vertexNum]; 70 isTrav = new bool[vertexNum]; 71 } 72 73 } 74 #endregion 75 76 /// 77 /// 图的操作类 78 /// 79 public class MatrixGraphManager 80 { 81 #region 图的创建 82 /// 83 /// 图的创建 84 /// 85 /// 86 public MatrixGraph CreateMatrixGraph() 87 { 88 Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。"); 89 90 var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList(); 91 92 MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]); 93 94 Console.WriteLine("请输入各顶点信息："); 95 96 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 97 { 98 Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:"); 99 100 var single = Console.ReadLine(); 101 102 //顶点信息加入集合中 103 graph.vertex[i] = single; 104 } 105 106 Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n"); 107 108 for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++) 109 { 110 Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t"); 111 112 initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList(); 113 114 int start = initData[0]; 115 int end = initData[1]; 116 int weight = initData[2]; 117 118 //给矩阵指定坐标位置赋值 119 graph.edges[start - 1, end - 1] = weight; 120 121 //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称 122 if (graph.graphType == 1) 123 { 124 graph.edges[end - 1, start - 1] = weight; 125 } 126 } 127 128 return graph; 129 } 130 #endregion 131 132 #region 输出矩阵数据 133 /// 134 /// 输出矩阵数据 135 /// 136 /// 137 public void OutMatrix(MatrixGraph graph) 138 { 139 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 140 { 141 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) 142 { 143 Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t"); 144 } 145 //换行 146 Console.WriteLine(); 147 } 148 } 149 #endregion 150 151 #region 广度优先 152 /// 153 /// 广度优先 154 /// 155 /// 156 public void BFSTraverse(MatrixGraph graph) 157 { 158 //访问标记默认初始化 159 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 160 { 161 graph.isTrav[i] = false; 162 } 163 164 //遍历每个顶点 165 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 166 { 167 //广度遍历未访问过的顶点 168 if (!graph.isTrav[i]) 169 { 170 BFSM(ref graph, i); 171 } 172 } 173 } 174 175 /// 176 /// 广度遍历具体算法 177 /// 178 /// 179 public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex) 180 { 181 //这里就用系统的队列 182 Queue queue = new Queue (); 183 184 //先把顶点入队 185 queue.Enqueue(vertex); 186 187 //标记此顶点已经被访问 188 graph.isTrav[vertex] = true; 189 190 //输出顶点 191 Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]); 192 193 //广度遍历顶点的邻接点 194 while (queue.Count != 0) 195 { 196 var temp = queue.Dequeue(); 197 198 //遍历矩阵的横坐标 199 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 200 { 201 if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0) 202 { 203 graph.isTrav[i] = true; 204 205 queue.Enqueue(i); 206 207 //输出未被访问的顶点 208 Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]); 209 } 210 } 211 } 212 } 213 #endregion 214 215 #region 深度优先 216 /// 217 /// 深度优先 218 /// 219 /// 220 public void DFSTraverse(MatrixGraph graph) 221 { 222 //访问标记默认初始化 223 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 224 { 225 graph.isTrav[i] = false; 226 } 227 228 //遍历每个顶点 229 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 230 { 231 //广度遍历未访问过的顶点 232 if (!graph.isTrav[i]) 233 { 234 DFSM(ref graph, i); 235 } 236 } 237 } 238 239 #region 深度递归的具体算法 240 /// 241 /// 深度递归的具体算法 242 /// 243 /// 244 /// 245 public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex) 246 { 247 Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]); 248 249 //标记为已访问 250 graph.isTrav[vertex] = true; 251 252 //要遍历的六个点 253 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 254 { 255 if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0) 256 { 257 //深度递归 258 DFSM(ref graph, i); 259 } 260 } 261 } 262 #endregion 263 #endregion 264 265 } 266 }
代码中我们构建了如下的“图”。
